สวัสดีครับ ในบทความนี้ จะขอนำเสนอการประยุกต์คอนสตรัคเตอร์แบบที่ใช้การโหลดสมาชิกของเมตริกซ์ จากไดนามิกส์อาเรย์ โดยจะนำเสนอผ่านระเบียบวิธีการหาคำตอบของระบบสมการไม่เชิงเส้นด้วย Newton-Raphson Method ผมจะขออธิบายแบบสั้นๆก่อนนำเข้าสู่โค้ดโปรแกรมภาษา C++ โดยปกติระบบสมการเชิงเส้น เราสามารถเขียนอยู่ในรูปเมตริกซ์ได้เป็น
[A][x] = [b]
ซึ่งเมตริกซ์ A จะเป็นเมตริกซ์ที่คงที่ ดังนั้นจึงสามารถใช้คลาส CMatrix อ่านข้อมูลสมาชิกของเมตริกซ์ A และ b ดังแสดงในบทความ การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นได้ แต่ในกรณีเป็นระบบสมการไม่เชิงเส้น (Nonlinear Equation System) สมาชิกของเมตริกซ์ A จะเป็นฟังก์ชันของตัวแปรที่ต้องการหาคำตอบ ดังแสดงในรูปที่ 2 การหาคำตอบของระบบสมการไม่เชิงเส้นจึงต้องใช้การหาคำตอบของระบบสมการด้วย Newton-Raphson Method
Newton-Raphson Method จะมีขั้นตอนดำเนินการดังนี้
1. เขียนสมการทั้งหมดให้อยู่ในรูปแบบดังนี้
จากตัวอย่าง 3 สมการจะสามารถเขียน f1 , f2 , f3 ได้ดังนี้
2. การหาคำตอบของระบบสมการ จะเริ่มจากการเขียนระบบสมการในรูปแบบของอนุกรมเทย์เลอร์ โดยสามารถเขียนในรูปเมตริกซ์ได้ดังนี้
เมตริกซ์ J จะเรียกว่า Jacobian matrix ซึ่งสมาชิกต่างๆหาได้ดังนี้
จากตัวอย่าง 3 สมการ จะเขียนระบบสมการได้ดังนี้
3. ทำการหาคำตอบของระบบสมการนี้ โดยการกำหนดค่าเริ่มต้น
แทนลงในเมตริกซ์ J และ f และหาคำตอบของระบบสมการในข้อ 2 ดังกล่าว
4. คำนวณหาผลลัพธ์ใหม่จาก
5. ตรวจสอบผลลัพธ์โดยการแทนคำตอบจากข้อ 4 ลงใน เมตริกซ์ f และตรวจสอบค่าของสมาชิกในเมตริกซ์ โดยหากคำตอบที่แทนลงในเมตริกซ์ f ทำให้สมาชิกในเมตริกซ์ f มีค่าเท่ากับ 0 จะได้ว่า คำตอบดังกล่าวเป็นคำตอบของระบบสมการ แต่ในทางปฏิบัติจะกำหนดเงื่อนไขการลู่เข้าหาคำตอบไว้ โดยหากค่าในเมตริกซ์ f ทุกค่าต่ำกว่าที่กำหนดจะถือว่าชุดคำตอบนี้เป็นคำตอบของระบบสมการ แต่หากไม่ใช่จะย้อนกลับไปหาคำตอบของระบบสมการในข้อ 2 ต่อไปและจะทำซ้ำจนกระทั่งลู่เข้าสู่คำตอบของระบบสมการ
จากที่ได้อธิบายมาคร่าวๆ เราจะเห็นจุดที่จะนำเอาสมาชิกเมตริกซ์จากอาเรย์ 2D เข้ามาประยุกใช้ได้ นั่นคือขั้นตอนที่ 2 จากนั้นกำหนดคำตอบเริ่มต้นในข้อ 3 และทำการหาคำตอบของระบบสมการตามข้อ 2 โดยใช้ฟังก์ชัน SolveLU หรือ SolveGauss ได้ เรามาดู โค้ดโปรแกรมกันเลยครับ
#include "stdafx.h"
#include "Matrix.h"
#include "math.h"
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
int n ;
int count ;
int row , col ;
double **J ;
double **f ;
double **x ;
double tol = 0.000001 ;
row = 3 ;
col = 3 ;
count = 0 ;
J = new double*[row];
f = new double*[row];
x = new double*[row];
for(int i = 0 ; i < row ; i++)
{
J[i] = new double[col] ;
f[i] = new double[col] ;
x[i] = new double[col] ;
}
//เดาคำตอบเริ่มต้น
x[0][0] = 1 ; //x
x[1][0] = 1 ; //y
x[2][0] = 1 ; //z
//คำนวณสมาชิกเมตริกซ f เริ่มต้น
f[0][0] = -(4*x[0][0]+x[1][0]*x[1][0] +x[2][0] -11) ; //-f1:-(4x+y^2+z-11)
f[1][0] = -(x[0][0]+4*x[1][0] +x[2][0]*x[2][0] -18) ; //-f2:-(x+4y+z^2-18)
f[2][0] = -(x[0][0]*x[0][0]+x[1][0] +4*x[2][0] -15) ; //-f3:-(x^2+y+4z-15)
do
{
count++;
//คำนวณเมตริซ์ J
J[0][0] = 4 ;
J[0][1] = 2*x[1][0] ; //2y
J[0][2] = 1 ;
J[1][0] = 1 ;
J[1][1] = 4 ;
J[1][2] = 2*x[2][0] ; //2z
J[2][0] = 2*x[0][0] ; //2x
J[2][1] = 1 ;
J[2][2] = 4 ;
CMatrix A(3,3,J) ;
CMatrix b(3,1,f) ;
CMatrix dx ; //สร้าง object dx ไว้สำหรับเก็บคำตอบที่ Solve ได้
dx.SolveLU(&A,&b); // Solve ระบบสมการและเก็บคำตอบไว้ที่เมตริกซ dx
// กำหนดคำตอบที่ได้ลงในเมตริกซ์ x
x[0][0] += dx.GetData(0,0);
x[1][0] += dx.GetData(1,0);
x[2][0] += dx.GetData(2,0);
//คำนวณสมาชิกเมตริกซ f ใหม่
f[0][0] = -(4*x[0][0]+x[1][0]*x[1][0] +x[2][0] -11) ; //-f1:-(4x+y^2+z-11)
f[1][0] = -(x[0][0]+4*x[1][0] +x[2][0]*x[2][0] -18) ; //-f2:-(x+4y+z^2-18)
f[2][0] = -(x[0][0]*x[0][0]+x[1][0] +4*x[2][0] -15) ; //-f3:-(x^2+y+4z-15)
}
// check เงื่อนไขการลู่เข้าของคำตอบ
while (fabs(f[0][0]) > tol || fabs(f[1][0]) > tol || fabs(f[2][0]) > tol);
printf("inter %d\tsolution are :\n",count);
printf("x = %.3f\n",x[0][0]);
printf("y = %.3f\n",x[1][0]);
printf("z = %.3f\n\n",x[2][0]);
printf("f1 = %.7f\n",f[0][0]);
printf("f2 = %.7f\n",f[1][0]);
printf("f3 = %.7f\n\n",f[2][0]);
// คืน memory ให้ระบบ
for (int i = 0 ; i < row ; i++)
{
delete [] J[i] ;
delete [] f[i] ;
delete [] x[i] ;
}
delete [] J ;
delete [] f ;
delete [] x ;
J = NULL ;
f = NULL ;
x = NULL ;
return 0 ;
}
ผลการประมวลผลโปรแกรมภาษา c++ ดังกล่าวสำหรับใช้หาคำตอบระบบสมการที่ไม่เป็นเชิงเส้นตามตัวอย่างแสดงได้ดังรูป
คำตอบของระบบสมการ
จากตัวอย่างโค้ดจะเห็นว่าในส่วนของการสร้างเมตริกซ์ J และ f เป็นการประยุกต์ใช้วิธีการประกาศคอนสตรัคเตอร์ตามที่ได้นำเสนอในบทความที่ผ่านมาครับ ซึ่งก็จะช่วยให้วิศวกรสามารถแก้ปัญหาในระบบต่างๆได้โดยง่าย
อยากจะกล่าวให้เห็นปัญหาของการหาคำตอบของระบบสมการที่มากกว่า 3 สมการ ซึ่งท่านต้องสร้างเมตริกซ์ J และ f มากขึ้น ซึ่งการสร้างเมตริกซ์ตามที่ผมได้นำเสนออาจจะทำได้ช้าและยุ่งยาก ซึ่งเราอาจจะประยุกต์การสร้างฟังก์ชันสำหรับคำนวณ สมาชิกในเมตริกซ์ขึ้นมาซึ่งทำได้รวดเร็วและเป็นแบบแผน ทำให้เราสามารถประยุกต์ใช้โค้ดโปรแกรมเดียวกันนี้กับระบบสมการหลายๆระบบได้โดยการเปลี่ยนแปลงโค้ดเพียงเล็กน้อย ซึ่งจะข้อนำเสนอในบทความถัดๆไปนะครับ เพื่อให้เห็นประโยชน์ของการเขียนโปรแกรมแบบ OOP
